Questo articolo esplorerà cos'è base ortonormale di una matrice e come trovarli in MATLAB utilizzando il file orto() funzione.
Quali sono le basi ortonormali di una matrice
In Algebra lineare, il base ortonormale di uno spazio vettoriale V avente dimensione finita sono le basi aventi vettori ortonormali dove il vettori ortonormali sono i vettori unitari ortogonali tra loro ovvero il loro prodotto scalare è zero.
Considera i vettori di due unità x e y, saranno ortogonali tra loro se “xy=0” . Questi due vettori sono anche chiamati vettori ortonormali .
Perché è necessario calcolare la base ortonormale
Una base ortonormale è utile per trovare la proiezione di un vettore su un altro vettore o per trovare la distanza tra i due vettori. Possiamo anche usare an base ortonormale per ridurre l'errore di arrotondamento nelle nostre simulazioni e l'unica ragione di ciò è che i vettori in una base ortonormale sono indipendenti l'uno dall'altro, quindi un errore in un vettore non può propagarsi ad altri vettori. Inoltre, trovare le coordinate ed eseguire la trasformazione lineare è molto più semplice se la nostra base è ortonormale.
Come trovare la base ortonormale di una matrice in MATLAB?
In MATLAB possiamo trovare il file base ortonormale utilizzando il built-in orto() funzione che è responsabile della determinazione del base ortonormale di una data matrice. Questa funzione accetta una matrice come parametro obbligatorio e fornisce una matrice come output contenente il file base ortonormale della matrice di input data.
Sintassi
IL orto() La funzione può essere implementata in MATLAB attraverso le seguenti sintassi:
Q = ort ( A, tol )
Qui,
- La funzione Q = orto(A) ha il compito di determinare il base ortonormale per l'intervallo di A dove le colonne della matrice di output Q rappresentano il base ortonormale della matrice A e spammano l'intervallo della matrice A. Inoltre, il rango di A è uguale al conteggio delle colonne di Q.
- La funzione Q = ort(A,tol) ha il compito di determinare il base ortonormale per l'intervallo di A specificando la tolleranza. I valori singolari della matrice di input A, che sono inferiori alla tolleranza, vengono trattati come zero influenzando il numero di colonne di Q.
Esempio 1: come trovare la base ortonormale di una matrice di rango completo in MATLAB?
Questo codice MATLAB determina il base ortonormale della matrice quadrata A di dimensione n=3 utilizzando il orto() funzione. Questo codice trova anche il rango di una matrice A utilizzando il rango() funzione per verificare che la matrice di input abbia il rango completo.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rango ( UN )
Q = ort ( UN )
Esempio 2: come calcolare la base ortonormale di una matrice con deficit di rango in MATLAB?
In questo esempio utilizziamo il file orto() funzione per trovare il file base ortonormale della matrice A con rango carente. La matrice A è carente di rango perché rango(K)
r = rango ( UN )
Q = ort ( UN )
Esempio 3: come trovare la base ortonormale di una matrice di rango completo specificando la tolleranza in MATLAB?
L'esempio fornito calcola il base ortonormale della matrice quadrata A di rango completo data avente dimensione n=3 usando il orto() funzione con tolleranza predefinita. Poiché A è una matrice di rango completo, la dimensione di A e Q (base ortogonale) è lo stesso, che in questo caso è 3×3. L'esempio quindi calcola il base ortonormale di A specificando il valore di tolleranza 0,5 per considerare i valori di A inferiori a 0,5 come valori singolari. Ci sono tre valori singolari in A, quindi A ha due vettori colonna ortonormali contenuti da Qtol matrice.
A = rand ( 3 ) ;r = rango ( UN )
Q = ort ( UN )
Q_tol = ort ( UN, 0,5 )
Conclusione
Trovare il base ortonormale di uno spazio vettoriale è un importante concetto di algebra lineare che è un complicato problema matematico. Tuttavia, può essere risolto in modo semplice ed efficiente utilizzando il built-in di MATLAB orto() funzione. Questo articolo ha presentato l'implementazione di questa funzione utilizzando diverse sintassi ed esempi.